ラプラス変換
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数学の準備：ラプラス変換

線形微分方程式を解くのは容易ではありません。
そこで、ラプラス変換を用いて解を求めます。

ラプラス変換の定義

関数 f(t) は 0 ≦ t だけで定義されているものとします。

さらに f(t) は、ある正の数 a が存在して

が収束する性質を持つとします。

１つの複素数 s に対して積分

・・・(1)

を考えます。
この式が存在すれば F(s) は複素変数 s の値を指定すると、その値が定まります。
つまり、 F(s) は複素変数 s の関数と言えます。
したがって、この式は、実変数 t の関数 f(t) に対して複素変数の関数 F(s) を対応させる規則と考えられます。
このような規則を一般には、変換と言います。
特に (1) 式をラプラス変換（ピエール・シモン・ラプラスにちなむ）と言います

記号 L （通常、筆記体が使われるが、本サイトでは活字体を使う）を用いて (1) 式の右辺を

で表せば

と書き表せます。

2つの関数 f(t) と g(t) のラプラス変換が存在すれば、a と b を定数として次の関係が成立します。

・・・線形性

＜線形性の証明＞

線形微分方程式とラプラス変換

変数をx(t)とする微分方程式	微分方程式の直接解法→	解　　x(t)
↓ラプラス変換		↑逆ラプラス変換
演算子 s の代数方程式	s 関数の代数計算→	代数方程式の解　X(s)