制御の安定性：ブロック線図

自動制御系の中での信号伝達のありさまを表す方法にブロック線図があります。
ブロック線図の基本に関して見ていきます。

ブロック線図の基本

名称	シンボル	式	意味
伝達要素		Y=GX	出力Yは入力信号XのG倍になる信号の流れる方向：矢印入出力間の関係を表す要素：□
加え合わせ点		Z=X±Y	入力信号XYが加算(減算)され、その結果がZ
引き出し点			一つの信号を2つ上に分岐

これらのシンボルを組み合わせてブロック線図を作成していきます。

直列接続

変換前	変換後

＜Scilabでの表現＞
G1・G2の伝達関数をそれぞれ

とした場合の変換後の伝達関数をScilabで求めます。

コンソール画面

-->s=%s;
-->G1=1/(10*s^2);
-->G2=(s+1)/(s+2);
-->G=G1*G2             //←直列接続
 G  =
 
      1 + s     
    ---------   
       2     3  
    20s + 10s

並列接続

変換前	変換後

＜Scilabでの表現＞
直列接続で使用した伝達関数を並列接続した場合の変換後をScilabで求めます。

コンソール画面

-->G=G1+G2
 G  =
 
               2     3  
    2 + s + 10s + 10s   
    -----------------   
           2     3      
        20s + 10s

フィードバック接続

変換前	変換後

加え合わせ点がマイナスのとき、各点の伝達関数は次式になります。
y0 = X - y1…(1)
y1 = Z・G2…(2)
Z = y0・G1…(3)

(2)式の y1 を(1)式へ代入、その(1)式の y0 を(3)式へ代入すれば
Z = (X-Z・G2)・G1
となります。

この式を変形すると
Z = G1・X - G1・Z・G2
Z + G1・Z・G2 = G1・X
Z( 1 + G1・G2 ) = G1・X
Z/X = G1/( 1 + G1・G2 )
となり、フィードバック系の伝達関数の式が得られます。

＜Scilabでの表現＞
G1・G2の伝達関数をそれぞれ

とした場合の変換後の伝達関数をScilabで求めます。

コンソール画面

-->s=%s;
-->G1=(1+5*s+2*s^2)/(3+2*s+s^2);
-->G2=(5*(s+2))/(s+10);
-->G=G1/.G2              //← /. はフィイードバック用演算子
 G  =
 
                  2    3   
    10 + 51s + 25s + 2s    
    -------------------    
                  2     3  
    40 + 78s + 57s + 11s

ブロック図の簡単化

下図のブロック線図全体の伝達関数を求めます。

一気に計算してもいいのですが、分かりやすい様に途中結果W1～W3を提示しながら求めます。

コンソール画面

-->G1=1/(s+1);
-->G2=1/(s+10);
-->G3=(s+5)/(s^2+s+1);
-->H1=(s+2)/(s+3);
-->H2=1/(s+4);
-->W1=G2*G3    //←直列接続
 W1  =
 
          5 + s          
    -----------------    
                  2   3  
    10 + 11s + 11s + s   
 
-->W2=W1/.H1   //←フィードバック接続
 W2  =
 
                     2         
          15 + 8s + s          
    -----------------------    
                  2     3   4  
    40 + 50s + 45s + 14s + s   
 
-->W3=G1*W2    //←直列接続
 W3  =
 
                        2            
             15 + 8s + s             
    -----------------------------    
                  2     3     4   5  
    40 + 90s + 95s + 59s + 15s + s   
 
-->G=W3/.H2   //←フィードバック接続
 G  =
 
                             2   3              
               60 + 47s + 12s + s               
    ----------------------------------------    
                     2      3      4     5   6  
    175 + 408s + 471s + 331s + 119s + 19s + s