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制御の安定性：判別の仕組みナイキスト線図によって安定性が判別出来る理屈を解説します。 特性根
フィードバック系の安定性を判別するためには、伝達関数の特性根の位置が重要なのは既に述べてきました。
G(s)、H(s) は分子と分母で多項式になっています。 この G(s)、H(s) を  、 と置きます。 すると次式のように書き換えられます。
一巡伝達関数は、  でした。 したがって、(1)式の分母は、一巡伝達関数の分母と一致しています。 また、分子は次のように閉ループ伝達関数の特性方程式を導き出せます。  すなわち、(1)式を因数分解して
1+G(s)H(s)の回転角(2)式で、sは複素数です。s平面上で(2)式の偏角を考えたとき、  となります。 ∠(s-q1)に着目します。 q1が閉ループの内か外かで、偏角に違いが出ます。 s平面上任意の閉曲線に沿って s を時計回りに移動させます。
ナイキスト経路s のたどる閉曲線として下図を考えます。 半径 R→j∞ とすれば、この閉曲線は、特性方程式の右半平面の根を全て囲むことになります。 このような経路をナイキスト経路と呼びます。 前述のように、閉曲線内の qi、pi だけが∠{1+G(s)H(s)} の偏移(回転数)に関係します。 この事実をもとに の変位(回転数)を考えます。 qi、pi は実部がプラスのときに不安定要素になります。 この不安定要素が1個存在するごとに、1回転発生します。 また、qi、piは回転方向が逆で、qは時計回り、pは反時計回りに回転します。 したがって、 qiの実部がプラスの数=Q piの実部がプラスの数=P とすると、1+G(s)H(s)は、時計回りに Q-P回転することになります。 つまり、s がナイキスト経路を一周したとき、1+G(s)H(s)は反時計方向にP-Q回転します。 結論1+G(s)H(s) が原点を中心に回転するならば、G(s)H(s)は -1 を中心に回転することになります。前述のように、回転数は P-Q で得られます。 すなわち、ナイキスト線図が -1 を中心に反時計回りに回転する数をZとすると Z=P-Q になります。 Z=Pであれば、Q=0 となりこのシステムは安定と判別出来ます。 (Qは閉ループ伝達関数の特性根の数) |
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