 |
はじめに
数学の準備
高校数学
複素数
ラプラス変換
ラプラス逆変換
Scilab入門
概要
四則演算
配列
グラフ表示
プログラム１
プログラム２
伝達関数
概要
poly,syslin,csim
ステップ応答法
RLC回路
周波数応答
ゲイン・位相ボード線図
比例・微分・積分
1次遅れ,ﾑﾀﾞ時間
パデ近似の導出
pade関数の作成
制御の安定性
ブロック線図
フィードバック
2次遅れ系
ステップ応答法
周波数応答法
ナイキスト線図
安定性の判別
判別の仕組み
安定余裕の評価
評価の例題
Xcos
入門
例・運動方程式
PID制御(Xcos)
概要
比例(P)動作
積分(I)動作
微分(D)動作
PID・ボード線図
周波数応答：ゲイン・位相
線形システムに正弦波を入力すると、十分に時間が経過したときの出力も正弦波になります。
＜入力＞ |
|
＜出力＞ |
振幅と位相は変わりますが、周期は変わりません。
出力信号を求める
伝達関数 G(s) のシステムへ、入力信号
を与えた場合の出力信号 o(t) の式を求めていきます。
出力 o(t) はここ（入力信号、出力信号、G(s)の関係）で説明したように次式から求めることが出来ます。
 |
・・・(1) |
ここで、伝達関数は、次式で表せるとします。
 |
・・・(2) |
入力信号をラプラス変換すると次式になります。
 |
・・・(3) |
(1)式へ(2)式と(3)式を代入して部分分数展開します。
 |
・・・(4) |
ヘヴィサイドの定理を用いて部分分数展開された各分数の分子を求めると次にように求まります。
 |
・・・(5) |
 |
・・・(6) |
| ヘヴィサイドの定理 | ||
 |
(5)式と(6)式を(4)式へ代入します。
この式を、ラプラス逆変換します。
 |
・・・(7) |
| Imは複素数の虚数部を表す記号 (a + jb) - (a - jb) = 2jb を(7)式で利用 |
G(jω)は複素数なので、絶対値|G(jω)| と偏角 θ(ω) = ∠G(jω)を使えば次式で表すことができます。
（複素数の「極座標による表示」・「指数関数による表示」を参照）
この式を(7)式へ代入します。
| このとき |  |
を利用します |
Σの項は、時間を十分に長く(t→∞)とると 0 になります。
結果として次式を得ることができます。
 |
・・・(8) |
この式からも分かるように、
- 波形 ： 角速度 ω の正弦波
- 振幅比 ： |G(jω)|
- 位相差 ： θ(ω)
伝達関数G(s) に s = jω を代入したG(jω) を周波数応答関数と呼びます（ω は正の実数とする）。
|
|
 |
(8)式は次のようにも書き表すこともできます。
G(jω) の大きさ |G(jω)| をゲインと言い、偏角 ∠G(jω) を位相と言います。
（出力の振幅が |G(jω)| 倍され，sinの角度が ∠G(jω) ずれる）