PID制御(Xcos)：微分(D)動作

微分動作の詳細を見ます。

特徴

微分動作は、次式で表されます。

入力に単位ステップを与えた場合下図に示します。
ステップ信号の立上りのとき出力は最大となりその後0へ近付きます。
つまり、急激な入力変化の時に出力も大きく変化します。

微分動作

比例(P)動作における出力と、微分(D)動作の出力が等しくなる時間を微分時間(T_D)と言います。
式からも分かるように微分時間(T_D)が長いほど修正量が強く働きます。

PID(比例＋積分＋微分)動作

PID 調整器の操作量は、

で表されます。

この式をラプラス変換すると次式になります。

これをブロック線図にすると下図になります(参考)。

積分・微分動作を含んだ場合のオフセット値を見ます。
PV(s) の式は、

で求まります。

十分長い時間経過後の式を最終定理を用いて導きだします。

＜最終値の定理＞
t→∞ における値は、s を掛けてからs→0としたものと等しい

したがって、オフセットは 0 となります。

PID制御の例

下図のようなPI制御差れている系に単位ステップを入力します。

制御対象を3次系にしているのは、PI動作とPID動作の違いがはっきりと出すためです。

今回は、ムダ時間=0.5Secとしてをパデ近似で求めます
＜パデ近似の設定＞

コンソール画面

-->s=%s;                  //←多項式の変数 s を定義
-->exec('pade_s.sci');    //←pade_s関数の使用を宣言(関数が記述されているファイル名を指定)
-->[num,den]=pade_s(0.5,4)  //パデ近似の分子・分母を s の多項式で取得
 den  =
    26880 + 6720s + 720s + 40s + s   
 num  =
    26880 - 6720s + 720s - 40s + s

＜ブロック線図＞

各伝達関数は、黄四角で提示した式を設定しています。
上側のブロックがPI 制御、下側のブロックはPID 制御です。

＜実行結果＞

PI制御ではハンチングが発生しており、これ以上 Kp を大きくするのは無理があります。
微分動作を加えることにより、ハンチングを抑えることが出来ます。
結果、Kp も大きくすることが出来、応答性の向上も計れます。

なお、微分要素には不完全微分を使用しています。
これは、微分に１次遅れ要素を加え、高周波成分を取り除いた式です。

不完全微分＝

外乱の影響

下図のようなPI 動作と PID 動作の系に対する外乱の影響を見ます。

外乱として、ステップ時間=150Sec、大きさ0.5 のステップ信号を与えました

＜実行結果＞

外乱に対しても、PID 動作が優れていることが分ります。