PID制御(Xcos)：比例(P)動作

比例動作のの詳細を見ます

特徴

偏差 e(t) の大きさに比例した大きさが出力されます。

m(t) = e(t) * Kp

もう少し具体的に、1次遅れとムダ時間で表される制御対象を比例動作のみを使って制御する場合を考えます。

このときの一巡伝達関数は

です。

したがって、ステップ入力に対する制御量PV(s)は

になります（ここを参照）。

最終値の定理を使って、時間 t→∞ のときの制御結果を見ます

＜最終値の定理＞
t→∞ における値は、s を掛けてからs→0としたものと等しい

得られた式から K_P の値を大きくすれば目標値に近付くことが分ります。
しかし、目標に近付きますが、一致することはありません。
この差のことをオフセットと言います。

オフセットは次の式で求めることが出来ます。

例えば K_P = 2、 K = 1 とせれば、OFFSET=1/3 になります。

Scicosでのシミュレーション

下図のような制御系で、K_P = 1、K_P = 2 をシミュレーションします。

対象となる系には、ムダ時間2秒が入っています。
このままでは、線形システムとして扱えないのでパデ近似をを使って有理化します。
すでに、pade関数を作成したのこれを使ってScicosの伝達関数の要素へ式を書き込めば良いのですが、結構面倒です。
そこで、パデ近似の分子・分母をシンボリック演算用に求める関数（pade_s）を作りました。

pade_s関数
仕様概要	むだ時間と次数を渡すと、パデ近似手法で得られる有理式の分子と分母をシンボリック演算用に取得シンボリックに扱う変数名は s 固定 s=%s を呼び出し側であらかじめ定義しておくこと
コーリングシーケンス	[num,den]=pade(t,n)	入力パラメータ	t	むだ時間[Sec]
			n	次数
		戻り値	num	シンボリック演算用の分子
			den	シンボリック演算用の分母

pade_s関数のコード

function [num,den]=pade_s(D, N)
  exec('pade.sci',-1);
  [p,q] = pade(D, N);
  num = 0;
  den = 0;
  for i=1: N+1 do
    num = num + p(i) * s^(i-1);
    den = den + q(i) * s^(i-1);
  end
endfunction

＜パデ近似の設定＞

コンソール画面

-->s=%s;                  //←多項式の変数 s を定義
-->exec('pade_s.sci');    //←pade_s関数の使用を宣言(関数が記述されているファイル名を指定)
-->[num,den]=pade_s(2,4)  //パデ近似の分子・分母を s の多項式で取得
 den  =
                    2    3   4  
    105 + 105s + 45s +10s + s   
 num  =
                    2     3   4  
    105 - 105s + 45s - 10s + s

＜ブロック線図の作成＞

要素	パラメータ	備　考
1		ステップ入力の設定初期値=0 最終値=1 ステップ時間=0
2		ゲインの設定 =1
3		ゲインの設定 =2
4		ムダ時間の伝達関数を設定 Scilabで定義済みのパデ近似変数 num、den を使用
5		対象の伝達関数を設定
6		サンプリングの設定
7		グラフ表示領域の設定

＜実行結果＞

K_P＝小	応答性が悪い
K_P＝大	応答性は良いが、ハンチング（振動）が起きやすい